Facebook Twitter Digg
Feed Contoh Skripsi

10 Mei 2011

PENERAPAN KONSEP HITUNG DIFFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN SOAL-SOAL EKONOMI PADA SISWA KELAS III SMA (BAB II)

Bagikan ke Teman

Apakah Artikel ini bermanfaat?

BAB II 
TEORI PENDUKUNG

A.     Limit
  1. Definisi
Fungsi f didefinisikan oleh f(x) = . Jika x diganti dengan 2 maka f (2) =  akan berupa bentuk tak tentu. Tetapi adakah suatu bilangan yang akan didekati f (x) jika nilai x mendekati 2 ?
Perhatikan tabel ini :
Tabel dengan nilai x mendekati 2 dari pihak kurang dari 2.
X
0
1
1,5
1,9
1,00
1,999 999
f (x)
1
3
4
4,8
4,998
4,999 998

Tabel dengan nilai x mendekati 2 dari pihak lebih dari 2.
X
4
3
2,5
2,1
2,01
2,001
2,000.001
f (x)
9
7
6
5,2
5,02
5,002
5,000.002

Dari kedua tabel di atas dapat disimpulkan bahwa nilai f(x) mendekati 5 dari pihak kurang dari 5 jika x mendekati 2 dari pihak kurang dari 2 dan f(x) mendekati 5 dari pihak lebih dari 5 jika x mendekati 2 dari pihak lebih dari 2.
Maka dikatakan bahwa f (x) mempunyai limit 5 untuk x mendekati 2 atau ditulis:
(pihak kurang dari 2)  (pihak lebih dari 2)
Dari analisa di atas dapat dikatakan:
Misalkan fungsi f (x) = y didefinisikan di sekitar x = c kita mengatakan bahwa 
Analisa limit yang lebih mendalam
X
1,9
1,999
1,999 999
2
….
2,000 001
2,001
2,01
F(x)
4,8
4,998
4,999 998
5
….
5,000 002
5,002
5,02
                                                           
Tabel ini menyatakan bahwa nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 5 dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 2. Bahwa bilamana 1,999 999 < x < 2,000 001, x 2 maka 4, 999 998 < f (x) < 5,000 002. Bentuk ini dapat ditulis
-0,000 001 < x – 2 < 0,000 001  -0,000 002 < f (x) – 5 < 0,000 002.
Ditulis dalam bentuk nilai mutlak menjadi
0 < |x – 2| < 0,000 001  0< |f (x) – 5| < 0,000 002
Dari pengantar di atas dapat disimpulkan bahwa:  definisi limit adalah: misalkan fungsi f didefinisikan pada selang terbuka yang memuat a, kecuali pada a sendiri. Fungsi y = f (x) dikatakan mempunyai limit L  bilamana x mendekati a dan ditulis:
untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga 0 < |x – a| < | f(x) –L| <.
  1. Teorema Limit
a.       Jika  m dan b adalah konstanta sebarang, maka:
b.      Jika c adalah konstanta, maka untuk setiap a sebarang, maka:
c.      
d.      Jika 
e.       Jika  
f.        Jika  
g.       Jika   
Ini berlaku jika L positif maka n harus bilangan bulat positif, dan jika L negatif maka n harus bilangan bulat positif ganjil.
h.       Jika a adalah bilangan real sebarang yang tidak sama dengan nol maka:
i.         Jika n adalah bilangan bulat positif, maka:
Contoh:
Tentukan nilai dari
Penyelesaian
=   
=   
=    1 + 2
=    3
Jadi,

B.     Turunan (Defrensial)
  1. Definisi
Fungsi f adalah fungsi kontinu pada interval terbuka  x1 dan x2 adalah anggota interval tersebut, dengan demikian titik P(x1, f(x1)) dan Q (x2, f(x2)) adalah titik grafik fungsi f, bagaimana gradien garis singgung grafik fungsi f di titik P.
           





           
           
            Pada gambar di atas adalah salah satu kemungkinan yang ada tentang letak x1 dan x2. Di sini x1 terletak di kiri x2. Jika beda x2 – x1 diberi simbol h maka h = x2 – x1, maka gradien tali busur PQ adalah:
MPQ =
Karena h = x2 – 1
MPQ =
            Bilamana titik P tetap (tidak bergerak) sedangkan titik Q bergerak mendekati titik P sepanjang busur grafik fungsi f, maka tali busur PQ berputar dengan titik P sebagai titik putar. Dalam keadaan ini limit h mendekati 0 (nol) maka tali busur PQ menjadi garis singgung kurva fungsi f di titik P. Jika gradien garis singgung ini diberi simbol m (x1) maka
M(x1) = 
Jika m (x1) = + ~ atau m (x1) = - ~  maka dikatakan bahwa m(x1) tidak ada. Akibatnya garis singgung grafik f di titik P sejajar dengan sumbu Y dan mempunyai persamaan x = x1.
Dari pengantar di atas, bahwa gradien garis singgung kurva fungsi f di titik P(x1), f(x1) adalah:
m(x1) =                      jika limit ada.
Bentuk rumus ini dinamakan turunan fungsi f di titik x = x1
Maka definisi turunan (defrensial) adalah:
Fungsi turunan fungsi f, yang ditulis sebagai f adalah fungsi yang untuk setiap harga x anggota fungsi f dinyatakan sebagai
f(x) =                         (Soemoena, 1992: 165)
Jika limit ada.
simbol lain yang digunakan adalah  yang dibaca “Derivatif dari f(x) terhadap x”.
Jika fungsi f dirumuskan sebagai y = f(x) maka fungsi f ditulis sebagai y`, simbol  dibaca “de y de x” bukan “de y per de x”.
            Catatan:
1. Gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik dengan absis x1 adalah f`(x1)
1.      Jika  ada, dikatakan bahwa fungsi f dapat dideferensialkan di x1.
2.      Jika  ada, untuk semua harga x1, pada interval (a,b) maka dikatakan fungsi f dapat didefrensialkan pada interval (a,b).
3.      Proses mencari f dari fungsi f disebut penurunan fungsi f atau didefrensialkan fungsi f. Dikatakan bahwa fungsi f diturunkan atau didefrensialkan untuk mendapat f.
4.      Di dalam pembicaraan tentang fungsi turunan digunakan notasi-notasi lain, seperti:
∆y = f(x = ∆x) – f(x)
=
  1. Rumus-rumus turunan (deferensial) beserta contoh-contoh soal.
1.      Jika f(x) = c sedangkan c suatu konstanta, maka f’(x) = 0
Bukti.
f(x) = c → f(x + h) = c
f(x) =
       =
       =  0
       = 0
Contoh
Tentukan f’(x) dari f(x) = -7, x Df
Penyelesaian:
f(x) = -7
f’(x) = 0
2.      Jika f(x) = xn dan n adalah bilangan asli, maka f’(x) = n.xn-1
Bukti:
      f(x) = xn  f’(x) = n.xn-1
f’(x) =
Dengan pelambangan L e i b n i z  dapat ditulis
Contoh
Jika f(x) = x3. Tentukan f(x)
Penyelesaian:
f(x) =
       =
       =
       = 3x2
    atau
  1. Jika f(x) terdeferensialkan dan g(x) = k f(x), sedangkan k suatu konstanta maka g’(x) = k f’(x).
Bukti:
g`(x)     =
            =
=
= k.
= k. f’(x)
Jika turunan dari konstanta digandakan dengan sebuah fungsi sama dengan konstanta digandakan dengan turunan fungsi tersebut. Dan jika ditulis dengan notasi l e i b n i z .
 k suatu konstanta dan n bilangan asli.
Contoh:
Jika f(x) = 5x2, tentukan f(x)
Penyelesaian:
f(x)       =
            =
            =
            = 10 x
Atau
  1. Jika f(x) dan g(x) terdeferensialkan, dan s(x) = f(x) + g(x), maka s`(x) = f`(x) + g`(x)
Bukti:
s`(x)     =
            =
            =
            = f`(x) + g`(x)
Sebagai akibat ialah turunan dari hasil pengelolaan jumlah dan selisih beberapa fungsi yang terdeferensialkan sama dengan jumlah dan selisih turunan masing-masing fungsi. Dengan perkataan lain:
Contoh
Jika f(x) = 7x2 + 2x, tentukan f`(x)
Penyelesaian
f`(x)      =  
            =
=
= 14 x + 2
atau
Jika f(x) = 7x2 + 2 x, maka fungsi ini dapat ditulis dalam bentuk f(x) = h(x) + g(x) dengan h(x) = 7x2 dan g(x) = 2x
Maka :
h`    dan  g`(x) =
Sehingga
f(x)       =
            = 14x + 2
  1. Jika f(x) dan g(x) terdeferensialkan, dan s(x) = f(x). g(x)
Maka:
s`(x) = f(x). g`(x) + g(x). f`(x)
Bukti:
s`(x)  =
         =
         =
         = f(x)
         = f(x). g`(x) + g(x) . f`(x)
Dengan memakai notasi lain, menurut Andi Hakim Nesoetion (1994:169) menyatakan:
Jika fungsi f(x) dan g(x) dilambangkan sebagai u = f(x) dan v = g(x) sehingga y = s(x) = u. v. Jika ∆x merupakan pertambahan dalam x yang menyebabkan pertambahan dalam u, v dan y masing-masing ∆u, ∆v dan ∆y
Maka :

y + ∆y =  (u + ∆u)(v + ∆v) = u.v + u. ∆v + v. ∆u + ∆u. ∆v
karena y = u.v
∆y = u. ∆v + v. ∆v + ∆u.∆v  dan
dalam hal ∆x0, maka,
dengan demikian diperoleh :
   
=
=
maka disebut ditulis : y = u.v  y’ = u.v’ + v.u’
Contoh
Jika s(x) = (x3 + 2x) (x2 + 1), tentukan s’(x)
Penyesuaian
Misala x3+2x = f(x)  dan   x2 + 1 = g(x)  maka
s’(x)       =  
                =       
                = f(x) .     
            =  
            = f(x)
            =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                =
                                                = 2x
=
=     
=   
= 3 x2 + 2
            maka :  =      

                        = (x3 + 2x) (2x) + (x2 +1) (3x2 + 2)
                        = 2x4 + 4x2 + 3x4  + 5x2 + 2
                        = 5x4 + 9x2 + 2
                        atau
Misal x3  + 2x = u  dan  x2 + 1 = v maka s(x) = u.v
Sehingga s’(x) = u.v’ + v.u’      dimana u’ = v’
Selanjutnya
u = x3 + 2x        = 3x2 + 2
v = x2 + 1            = 2x
Maka:
            s`(x)     = (x3 + 2x) (2x) + (x2 + 1) (3x2 + 2)
                        = 5x4 + 9 x2 + 2  
  1. Jika f(x) dan g(x) terdeferensialkan, dan s(x) = , dengan g(x) 0.
Maka:
s`(x)     =
Bukti :
s`(x)     =
=
=
            =
            =
=
            =
            dengan pelambangan lain
            Jika      s(x) = y,  f(x) = u dan g(x) = v sehingga
                        s(x) = y  dengan v ≠ 0. Maka
                        s(x) = y’
            Contoh :
            Diketahui  s(x) =  Tentukan s’(x)
Penyelesaian
            Misal : 2x2 + 3x = f(x) dan + 2 = g(x), s(x) =
            Maka : s`(x)     =
                                    =
            Dimana
            f(x)       = =
                        =
                        =  4x + 2h + 3
                        = 4x + 3
            g`(x)     =
                                                                 =  1   =  1
            Maka :
            s`(x)     =
                        =
                        =
                        = 2x2 + 14x + 6
            dengan notasi lain
            Jika      s(x) = y,  f(x) = u dan g(x) = v maka s(x) =
            Menjadi   y =  dengan v ≠ 0. Maka
                            y' =  dimana u’ =  v’ 
            Karena f(x) = u = 2x2 + 3x   = 
                        g(x) = v = x + 1   
            Maka
                        y’ =
                            = 4x2 + 11x – 6 – 2x2 + 3x
                            = 2x2 + 14x + 6
  1. Jika y = un, sedangkan n adalah bilangan nyata dan u terdeferensialkan terhadap x, maka 
Bukti:
Pada rumus no. 5 bahwa y = u.v y` = uv` + v.u`
Atau
Jika v = u maka y = u2 dan turunannya dapat ditulis menjadi
Selanjutnya jika v = u2  maka y = u3, dengan menggunakan rumus diatas diperoleh
Apabila proses ini dilakukan, diperoleh rumus turunan y = un, maka
dengan n = 2, 3, 4, ……..
jika n merupakan bilangan bulat negatif, misal n = -k, dan bilangan asli, maka dengan menggunakan rumus no. 6 diperoleh:
=
n. un-1
hal ini dapat disimpulkan bahwa rumus ini berlaku juga untuk sebarang bilangan nyata n.
contoh :
jika y = (3x2 + 2x)5. Tentukan
Penyelesaian
Misal u = 3x2 + 2
                                                  = (30x + 10) (3x2 + 2x)4
            Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain turunannya masih dapat diturunkan lagi. Turunan pertama (fisrt derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, Turunan ketiga (third derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan kedua, dan seterusnya
Fungsi awal                  : y = f(x)
Fungsi pertama             : y’ = f’(x)
Fungsi kedua               : y’’ = f’’(x)
Fungsi ketiga               : y’’’ = f’’’(x)
Dan seterusnya.
















-         Proses untuk memperoleh derivative disebut differensial dari fungsi f(g). (Assouri Sofyan, SE, 2000: 148)
Tanda / notasi differensial ini adalah:
Suatu fungsi yang mempunyai derivate atau dapat didefferensial, (defferensiabel). (Assouri Sofyan, SE, 2000: 148)

b.      Jika  adalah bilangan bulat positif, maka
c.       Jika dan terdifferensial dan maka
d.      Jika dan terdifferensial dan  dengan g(x)maka S` (x) =
e.       Jika adalah bilangan bulat positif dan u terdefferensial terhadap x maka




Download Selengkapnya
Dengan memasukkan alamat email dibawah ini, berarti anda akan dapat kiriman artikel terbaru dari Judul Skripsi - Kumpulan Contoh Skripsi dan Makalah Pendidikan Bahasa Indonesia di inbox anda:

0 komentar:

Posting Komentar

Arsip Blog

 
Design by Blogger Template | Modified by Cara Membuat Blog