Facebook Twitter Digg
Feed Contoh Skripsi

22 Mei 2011

ANALISIS KESALAHAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL-SOAL PADA POKOK BAHASAN PERSAMAAN KUADRAT SISWA KELAS I SEMESTER (BAB II )

Bagikan ke Teman

Apakah Artikel ini bermanfaat?

BAB II
KAJIAN PUSTAKA

A. Hakekat Matematika
Pengertian tentang matematika beraneka ragam karena matematika didefinisikan berdasarkan sudut pandang pembuatnya atau dengan kata lain tidak terdapat satu definisi tentang matematika yang tunggal dan disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika.
Beberapa definisi atau pengertian tentang matematika menurut Soejadi (2000:11) adalah:
1. Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisasi secara sistematik.
2. Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi.
3. Matematika adalah pengatahuan tentang penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan.
4. Matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.
5. Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logik.
6. Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.

Menurut Johnson dan Rising (dalam Suherman, dkk., 2001:19) matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis. Matematika adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.
Kline (dalam Mulyono, 1999:252) mengemukakan bahwa matematika merupakan bahasa simbolis dan ciri utamanya adalah menggunakan cara bernalar deduktif tetapi juga tidak melupakan cara bernalar induktif.
Reys, dkk. (dalam Suherman, dkk., 2001:19) menyatakan bahwa matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat”.
Dari beberapa definisi matematika di atas dapat terlihat adanya ciri-ciri khusus atau karakteristik yang dapat merangkum pengertian matematika secara umum, sebagaimana yang dikemukakan oleh Soejadi (2000:13) karakteristik matematika adalah:
1. Memiliki objek kajian abstrak.
2. Bertumpu pada kesepakatan.
3. Berpola pikir deduktif.
4. Memiliki simbol yang kosong dari arti.
5. Memperhatikan semesta pembicaraan.
6. Konsisten dalam sistemnya.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa hakekat matematika adalah berkenaan dengan ide-ide, struktur-struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut aturan yang logis dari konsep-konsep yang abstrak. Karena matematika berkenaan dengan konsep-konsep abstrak, maka suatu kebenaran dalam matematika dikembangkan berdasarkan pada alasan yang logis (Hudojo, 1979:96).

B. Pemecahan Masalah dalam Matematika
Memecahkan suatu masalah merupakan suatu aktifitas dasar bagi manusia. Kenyataan menunjukkan sebagian besar kehidupan kita adalah berhadapan dengan masalah-masalah, kita perlu mencari penyelesaiannya. Bila kita gagal dengan suatu cara untuk menyelesaikan suatu masalah, kita harus mencoba menyelesaikannya dengan cara lain. Kita harus berani menghadapi masalah untuk menyelesaikannya.
Menurut Polya (dalam Hudojo, 1979) terdapat dua macam masalah, yaitu masalah untuk menemukan dan masalah untuk dibuktikan. Bagian utama dalam masalah untuk menemukan adalah:
1. Apakah yang kita cari?
2. Bagaimana data yang kita ketahui?
3. Bagaimana syaratnya?
Dan bagian utama dalam masalah untuk dibuktikan adalah hipotesis dan konklusi dari suatu teorema yang harus dibuktikan kebenarannya. Hudojo (1979:160) menyatakan bahwa:
Di dalam menyelesaikan masalah siswa diharapkan memahami proses menyelesaikan masalah tersebut dan menjadi terampil di dalam memilih dan mengidentifikasikan kondisi dan konsep yeng relevan, mencari generalisasi, merumuskan rencana penyelesaian dan mengorganisasikan keterampilan yang telah dimiliki sebelumnya.

Russeffendi (dalam Sari, 2003:11) menyatakan bahwa ada 5 langkah dalam pemecahan masalah, yaitu merumuskan permasalahan dengan jelas, menyatakan kembali persoalan dalam bentuk yang dapat diselesaikan, menyusun hipotesis (sementara) serta strategi pemecahannya, melaksanakan prosedur pemecahannya dan melakukan evaluasi terhadap penyelesaiannya.
Menurut Polya (dalam Suherman, 2001:91) bahwa dalam pemecahan suatu masalah terdapat empat langkah yang harus dilakukan yaitu memahami masalah, merencanakan pemecahannya, menyelesaikan masalah sesuai rencana langkah kedua dan memeriksa kembali hasil yang diperoleh.
Menurut Suherman (2001:92) salah satu cara untuk mengembangkan kemampuan anak dalam memecahkan masalah adalah melalui penyediaan pengalaman pemecahan masalah yang memerlukan strategi yang berbeda-beda dari satu masalah ke masalah lainnya.
Dari pendapat-pendapat di atas, dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah pemecahan masalah dalam matematika adalah:
a. Memahami istilah, tanpa adanya pemahaman terhadap masalah yang diberikan, siswa tidak mungkin mampu menyelesaikan masalah tersebut dengan benar.
b. Merencanakan penyelesaian, setelah siswa dapat memahami masalahnya dengan benar, siswa harus mampu menyusun rencana penyelesaian masalah dengan menggabungkan konsep-konsep yang telah diketahui, mengorganisasikan data-data yang ada sesuai dengan permasalahan untuk mempermudah mencari penyelesaian.
c. Menyelesaikan masalah sesuai rencana, jika rencana penyelesaian masalah telah dibuat, baik secara tertulis maupun tidak, selanjutnya dilakukan penyelesaian masalah sesuai dengan rencana yang dianggap paling tepat.
d. Melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan. Dengan memeriksa kembali jawaban masalah yang telah diperoleh maka berbagai kesalahan dapat terkoreksi sehingga siswa dapat sampai pada jawaban yang benar sesuai dengan masalah yang diberikan.
C. Jenis-Jenis Kesalahan
Kesalahan adalah penyimpangan terhadap sesuatu yang benar (kamus besar bahasa Indonesia, 1996:865). Sedangkan menurut Sukirman (dalam Jakfar, 2004:11) kesalahan adalah penyimpangan terhadap hal yang benar yang sifatnya sistematis, konsisten maupun insidental pada daerah tertentu.
Menurut Utami (2001:20) bahwa kesalahan didefinisikan sebagai penyimpangan terhadap hal yang benar dan sifatnya sistematis, konsisten maupun insidental pada bagian tertentu. Kesalahan yang bersifat sistematis dan konsisten dipengaruhi oleh kemampuan siswa sedang yang bersifat insidental bukan merupakan akibat rendahnya tingkat penguasaan materi pelajaran.
Sunandar (dalam Suhaimiyah 2004:16) bahwa ada beberapa kesalahan yang mungkin dibuat siswa dalam belajar matematika, diantaranya kesalahan konsep dan kesalahan operasi. Sementara salah satu kesalahan siswa dalam belajar matematika yang diungkapkan oleh Climen (dalam Hartono, 1989:13) adalah kesalahan karena kealpaan.
Sukirman (1985:32) membagi kesalahan siswa dalam mengerjakan soal-soal cerita matematika menjadi lima kategori kesalahan, yaitu kesalahan interpretasi bahasa, kesalahan konsep, kesalahan prosedur, kesalahan teknis dan menarik kesimpulan.
Hadar (dalam Jakfar, 2004:2) mengemukakan bahwa ada empat kategori kesalahan, yaitu kesalahan interpretasi bahasa, kesalahan menggunakan data, kesalahan penggunaan teorema atau definisi (konsep) dan kesalahan teknis.

D. Faktor-Faktor Penyebab Terjadinya Kesalahan
Soal tes diberikan kepada siswa untuk mengetahui kemampuan yang dimiliki oleh siswa serta pemahaman siswa tentang materi yang telah diberikan. Namun hasil dari tes tersebut tidak selalu memuaskan, artinya dalam menyelesaikan soal tes tersebut siswa tidak selalu benar dan seringkali melakukan kesalahan.
Siswa dikatakan melakukan kesalahan apabila ia salah dalam menyelesaikan soal. Kesalahan ini dapat diketahui setelah siswa selesai mengerjakan soal yang diteskan, baik secara tuntas maupun belum tuntas.
Kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika dapat dimanfaatkan untuk mendeteksi kesulitan belajar matematika, jadi dengan mengetahui kesalahan dalam menyelesaikan suatu soal matematika akan dapat ditelusuri kesulitan dalam belajar matematika.
Kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal matematika itu disebabkan oleh kemampuan yang dimiliki, seperti pemahaman siswa tentang definisi, teorema, sifat, rumus dan proses pengajaran. Selain itu bisa juga disebabkan oleh kurangnya tingkat penguasaan materi kecerobohan dan juga kondisi kesiapan siswa dalam belajar.
Berbicara tentang kesalahan siswa, ada beberapa faktor yang mempengaruhi siswa melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika yaitu faktor-faktor yang mempengaruhi proses dan hasil belajar matematika. Sedangkan Djamarah (2000:21) menggolongkan faktor yang mempengaruhi proses dan hasil belajar menjadi dua, yaitu faktor dari luar dan faktor dari dalam. Yang merupakan faktor dari dalam adalah fisiologi (kondisi fisiologis, kondisi panca indera) dan psikologi (bakat, minat, kecerdasan, motivasi dan kemampuan kognitif). Sedangkan yang merupakan faktor dari luar adalah lingkungan (alami dan sosial) dan instrumental (kurikulum, program, guru, sarana dan fasilitas).
Menurut Novita (2003:17) secara garis besar faktor-faktor penyebab kesalahan siswa dalam menyelesaikan soal matematika dapat digolongkan menjadi dua, yaitu penyebab dari diri siswa dan penyebab dari sekolah.
Menurut Hudojo (1988:8) faktor-faktor yang mempengaruhi proses belajar matematika adalah peserta didik, pengajar, sarana dan prasarana dan penilaian.
a. Peserta didik, kegagalan atau keberhasilan belajar sangat bergantung pada peserta didik, misalnya kemampuan dan kesiapan siswa untuk mengikuti kegiatan belajar matematika, sikap dan minat terhadap matematika dan juga kondisi fisik maupun psikologis.
b. Pengajar, kemampuan pengajar dalam menyampaikan materi sekaligus penguasaan terhadap materi, kepribadian dan motivasi dalam mengajar matematika berpengaruh terhadap efektifitas proses belajar matemaatika.
c. Sarana dan prasarana, sarana yang lengkap seperti buku teks dan alat bantu, prasarana seperti ruangan yang bersih dan nyaman. Semua itu akan menunjang proses belajar mengajar.
d. Penilaian, selain untuk melihat hasil belajar siswa juga untuk melihat interaksi antara pengajar dan peserta didik, misalnya tentang keberhasilan peserta didik apakah proses belajar mengajar didominasi oleh pengajar atau terjadi komunikasi dua arah.
Jadi dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa ada banyak faktor yang mempengaruhi proses dan hasil belajar, yang juga berpengaruh terhadap bentuk kesalahan yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal matematika. Seperti yang telah dikemukakan oleh Djamarah (2000:21), faktor yang mempengaruhi proses dan hasil belajar siswa dapat dilihat yaitu faktor dari luar dan faktor dari dalam, faktor dari diri siswa dan penyebab dari sekolah, faktor dari peserta didik, pengajar, penilaian serta sarana dan prasarana.

E. Materi Persamaan Kuadrat
Bentuk umum atau bentuk baku persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0; a, b dan c  R, dan a  0 dimana x adalah variabel atau peubah, a adalah koefisien dari x2, b adalah koesisien dari x dan c adalah konstanta atau tetapan. Jika a = 0, maka persamaan tersebut bukan persamaan kuadrat melainkan persamaan linear.
Menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan nilai-nilai variabel, misal x, yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Selanjutnya nilai-nilai x tersebut disebut sebagai penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat. Cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat antara lain memfaktorkan, melengkapkan persamaan kuadrat dan menggunakan rumus persamaan kuadrat (rumus abc).
1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, kita akan menemui bentuk perkalian seperti berikut.
(x – 2) (3x + 4) = 0
Untuk menyelesaikannya, kita memakai sifat p x q = 0. Perkalian tersebut dipenuhi jika p = 0 atau q = 0. Dengan demikian perkalian (x – 2) (3x + 4) = 0 dipenuhi jika
(x – 2) = 0 atau (3x + 4) = 0
x = 2 atau 3x = -4

Jadi, penyelesaian dari (x – 2) (3x + 4) = 0 adalah x = 2 atau .
Untuk menunjukkan apakah nilai-nilai x tersebut memenuhi, substitusikan nilai x ke persamaan (x – 2) (3x + 4) = 0.
a. Memfaktorkan ax2 + bx + c untuk a = 1.
Untuk a = 1, maka x2 + bx + c.
Langkah-langkah pemfaktorannya adalah:
1) Siapkan bentuk (x + ... ) (x + ...).
2) Isilah titik-titik dengan bilangan, misalnya m dan n, yang merupakan faktor dari c dimana
m x n = c dan m + n = b sehingga
x2 + bx + c = (x + m) (x + n).
Contoh:
Faktorkan x2 – 5x + 6 = 0
Penyelesaian:
1) (x + ...) (x + ...)
2) Untuk mengisi titik-titik, pilihlah salah satu pasangan bilangan berikut.
1 x 6 = 6 ; 1 + 6 = 7
2 x 3 = 6 ; 2 + 3 = 5
(-1) x (-6) = 6 ; (-1) + (-6) = -7
(-2) x (-3) = 6 ; (-2) + (-3) = -5
Pasangan bilangan yang memenuhi adalah (-2) dan (-3), sehingga (x + ...) (x + ...) menjadi (x – 2) (x – 3).
Jadi, x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3).
b. Memfaktorkan ax2 + bx + c untuk a > 0.
Untuk a > 0 maka ax2 + bx + c.
Langkah-langkah pemfaktorannya adalah
1) Siapkan bentuk (ax + ...) (ax + ...).
2) Isilah titik-titik dengan bilangan, misalnya m dan n, dimana m x n = ac dan m + n = b sehingga ax2 + bx + c = (ax + m) (ax + n).
Contoh:
Faktorkan 3x2+ 2x – 8!
Penyelesaian:
1) 3x2+ 2x – 8 = (3x + ...) (3x + ...)
2) a x c = 3 x (-8) = -24 dan b = 2
Bilangan yang memenuhi m x n = -24 dan m + n = 2 adalah –4 dan 6 sehingga
(3x + ...) (3x + ...) menjadi (3x -4) (3x + 6)
Jadi,
3x2+ 2x – 8 = (3x -4) (3x + 6)
= (3x – 4) (x + 2).

c. Memfaktorkan ax2 + bx + c untuk a < 0. Untuk a < 0  -a > 0
ax2 + bx + c = -[-ax2 + bx + (-c)]
Karena –a > 0, maka langkah-langkah yang terdapat pada bagian b dapat kita gunakan. Langkah-langkah pemfaktorannya adalah
1) Siapkan bentuk
2) Isilah titik-titik dengan bilangan, misalnya m dan n, dimana m x n = ac dan m + n = -b sehingga –[-ax2+(-b)x + (-c) =
Contoh:
Faktorkan –6x2 + 19 + 7
Penyelesaian:
–6x2 + 19 + 7 = -[6x2 – 19x – 7]
1) -[6x2 – 19x – 7] =
2) m x n = ac = -6 x 7 = -42 ……….. (*)
m + n = -b = -19 ………… (**)
Bilangan yang memenuhi (*) dan (**) adalah –21 dan 2 sehingga diperoleh
-[6x – 19x – 7] =
=
2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Tidak semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran. Untuk mengatasi hal itu umumnya digunakan bentuk kuadrat sempurna, yang merupakan hasil dari suatu proses yang disebut melengkapkan kuadrat sempurna.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan x2 + bx + c = 0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai berikut.
a. Tambahkan konstanta, -c (lawan dari c) pada kedua ruas
x2 + bx + c – c = 0 – c
b. Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu
x2 + bx + = -c +
c. Tuliskan ruas kiri dalam bentuk kuadrat

d. Akarkan kedua ruas

e. Tentukan nilai x

Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna!
x2 + 8x – 9 = 0

Penyelesaian:
x2 + 8x – 9 = 0
x2 + 8x = 9

x2 + 8x + 42 = 9 + 42
(x + 4)2 = 25
x + 4 =
x = -4  5
Jadi, penyelesaiannya adalah
x = -4 + 5 atau x = -4 –5
x = 1 atau x = -9
Soal ini dapat juga diselesaikan dengan cara memfaktorkan yaitu (x – 1) (x + 9) = 0, dengan memberikan penyelesaian yang sama.
Jika koefisien x tidak sama dengan 1, kita tidak dapat langsung melengkapkan kuadrat dengan menambah kuadrat dari koefisien x. Akan tetapi kita perlu membagi kedua ruas dengan suatu bilangan yang dapat merubah koefisien x2 menjadi 1, tentu saja dibagi dengan koefisien x2.
3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat (rumus abc)
Rumus kuadrat ini diturunkan dari cara melengkapkan kuadrat untuk menyelesaikan persamaan kuadrat bentuk baku, ax2 + bx + c = 0 sebagai berikut:
a. Tambahkan –c pada kedua ruas
ax2 + bx = -c
b. Bagi kedua ruas dengan a.

c. Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri dengan menambah pada kedua ruas

d. Tuliskan ruas kiri dalam bentuk kuadrat



e. Akarkan kedua ruas, sehingga

f. Kedua ruas ditambah , sehingga


Rumus ini disebut rumus kuadrat atau rumus abc.
Langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat.
a. Tuliskan persamaan kuadrat dalam bentuk baku ax2 + bx + c = 0.
b. Tentukan nilai-nilai a, b dan c. Usahakan tetapan-tetapan a, b dan c tidak pecahan.
c. Masukkan nilai a,b dan c ke dalam rumus kuadrat
d. Sederhanakan bentuk penulisan pada ruas kanan sehingga diperoleh suatu penyelesaian.
Contoh:
Selesaikan persamaan kuadrat 2x2 + 5x + 3 = 0 dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc.
Penyelesaian:
2x2 + 5x + 3 = 0; a = 2, b = 5, c = 3


Jadi, penyelesaiannya adalah
atau
Atau dalam bentuk himpunan penyelesaian, HP = .

F. Analisis Kesalahan Siswa dalam Menyelesaikan Soal-Soal Persamaan Kuadrat
Menurut kamus besar Bahasa Indonesia (1996:37) analisis adalah penyelidikan terhadap suatu peristiwa dan untuk mengetahui keadaan yang sebenar-benarnya.
Berdasarkan kategori-kategori kesalahan yang diungkapkan maka dalam penelitian ini kesalahan yang mungkin dilakukan siswa dalam menyelesaikan soal persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi empat kategori kesalahan, yaitu:
1. Kesalahan teknis
Kesalahan teknis dalam penelitian ini adalah kesalahan yang diperbuat siswa karena:
a. Salah menentukan operasi aljabar
b. Salah menulis angka hasil operasi
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 = 2(2x – 3) dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc)!
Penyelesaian:
x2 = 2(2x – 3)
x2 = 4x – 1
x2 – 4x + 1 = 0
x1.2 =

Dari penyelesaian di atas, setelah dianalisis ternyata siswa melakukan kesalahan teknis (siswa salah dalam menentukan hasil dari x2 = 2(2x – 3), yaitu:
x2 = 2(2x – 3) seharusnya x2 = 2(2x – 3)
x2 = 4x – 1 x2 = 4x – 6
Kesalahan ini disebabkan siswa kurang teliti dalam menghitung.
2. Kesalahan kealpaan
Kesalahan kealpaan dalam penelitian ini adalah kesalahan yang diperbuat siswa karena:
a. Mengerjakan soal tidak sesuai perintah
b. Salah dalam memasukkan/menggunakan data
c. Tidak selesai dalam mengerjakan soal.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat
10x2 + 15x + 8 = -5x – 2 dengan memfaktorkan.
Penyelesaian:
10x2 + 15x + 8 = -5x – 2
10x2 + 15x + 5x + 8 + 2 = 0
10x2 + 20x + 10 = 0
10x2 + 10x + 10x + 10 = 0
(10x2 + 10) + (10x + 10) = 0
10x (x + 1) + 10 (x + 1) = 0
(10x + 10) (x + 1) = 0
x1 = -1 atau x2 = -1
Dari penyelesaian di atas, setelah dianalisis ternyata siswa pada langkah ke 5 melakukan kesalahan kealpaan (mengurangi data), yaitu:
(10x2 + 10) seharusnya (10x2 + 10x).
Kesalahan ini disebabkan karena kurang teliti dalam menulis data dan juga tidak membuat kesimpulan.

Download Selengkapnya
Dengan memasukkan alamat email dibawah ini, berarti anda akan dapat kiriman artikel terbaru dari Judul Skripsi - Kumpulan Contoh Skripsi dan Makalah Pendidikan Bahasa Indonesia di inbox anda:

0 komentar:

Poskan Komentar

 
Design by Blogger Template | Modified by Cara Membuat Blog